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正弦交流电路

4/10/2022, 9:18:51 AM
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第一节 正弦电压与电流

正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。

正弦量的三要素:设正弦交流电流

i=I_m sin(\omega t+\psi )

幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。

周期T:正弦量变化一次所需的时间。

频率f:每秒内变化的次数。

瞬时值:正弦量在任一瞬间的值。用小写字母来表示,如i、u、e

幅值:瞬时值中最大的值。用带下标m的大写字母来表示,如I_m、U_m、E_m

有效值:与交流热效应相等的直流I定义为交流电流i的有效值,即

\int_{0}^{T}i^2Rdt=I_m^2RT

解得

I=\frac{1}{\sqrt{2} } I_m

注:交流电压表、电流表测量数据均为有效值,交流设备铭牌标注的电压、电流也均为有效值。

相位差\varphi:两个同频率正弦量的相位角之差或初相位之差,如

u=U_m sin(\omega t+\psi _1)\\ i=I_m sin(\omega t+\psi _2)\\ \varphi =(\omega t+\psi_1)-(\omega t+\psi_2)=\varphi_1-\varphi_2

注:两个同频率的正弦量之间的相位差为常数,与计时起点的选择无关;不同频率的正弦量比较无意义。

第二节 正弦量的相量表示法

正弦量的表示方法:波形图、瞬时值表达式、相量\dot{U} =U\angle \psi

复数的几种表示形式:代数式a+jb、三角函数式rcos\psi+jrsin\psi、指数式re^{j\psi},极坐标式r\angle \psi

A=a+jb=rcos\psi+jrsin\psi=re^{j\psi}=r\angle \psi

注:j=\sqrt -1称为复数的虚数单位;复数的模r=\sqrt{a^2+b^2} a=rcos\psi,b=rsin\psi,复数的幅角\psi =\arctan \frac{b}{a}为相量与x轴的夹角。

复数的四则运算:

A_1=a_1+jb_1\\ A_2=a_2+jb_2\\ A_1\pm A_2=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)j
A_1=r_1e^{j\psi_1}=r_1\angle \psi_1\\ A_2=r_2e^{j\psi_2}=r_2\angle \psi_2\\ A_1A_2=r_1r_2e^{j(\psi_1+\psi_2)}=r_1r_2\angle (\psi_1+\psi_2)\\ \frac{A_1}{A_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\psi_1-\psi_2)}=\frac{r_1}{r_2}\angle (\psi_1-\psi_2)

正弦量的相量表示:实质就是用复数表示正弦量。由上可知,复数由模和辐角两个特征来确定,而正弦量由幅值、频率、初相位三个特征来确定。在分析线性电路时,正弦激励和响应均为同频率的正弦量,频率是已知的,可以不考虑。因此,一个正弦量由幅值(或有效值)和初相位就可确定。比照复数和正弦量,正弦量可以用复数表示。

注:复数的模即为正弦量的幅值(或有效值);复数的辐角即为正弦量的初相位。

相量:表示正弦量的复数称相量。

注:相量只是表示正弦量,而不等于正弦量。只有正弦量才能用相量表示。
相量的两种表示形式:相量式、向量图(把相量表示在复平面的图形)。

第三节 单一参数的交流电路

电阻元件的交流电路:设i=I_msin \omega t(参考正弦量)

u=iR=I_mRsin \omega t=U_msin \omega t

平均功率(有功功率)P:一个周期内电路消耗电能的平均速度,即瞬时功率的平均值。

P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}pdt

注:通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

电感元件的交流电路:设i=I_msin \omega t(参考正弦量)

u=-e_L=L\frac{di}{dt} \\ u=L\frac{d(I_msin \omega t)}{dt} \\ =\omega LI_msin (\omega t+90^\circ ) \\ =\omega LI_m\angle 90^\circ

注:电压超前90°。

感抗的定义:

X_L=\frac{U_m}{I_m}=\frac{U}{I}=\omega L=2\pi fL

,具有和电阻一样的单位欧姆,则电压有效值

U=I \omega L=IX_L

注:电感L具有通直流阻交流的作用。

无功功率Q:用以衡量电感电路中能量交换的规模。规定无功功率等于瞬时功率的幅值,即

p=ui=UIsin 2\omega t \\ Q=UI=I^2X_L=\frac{U^2}{X_L}

单位:var(乏)或者kvar。

电容元件的交流电路:设u=U_msin \omega t(参考正弦量)

i=C\frac{du}{dt}=\omega CU_mcos \omega t=\omega CU_msin( \omega t+90^\circ) \\ I_m=\omega CU_m \\ \frac{U_m}{I_m}=\frac{U}{I}=\frac{1}{\omega C}

注:电流超前电压90°。

容抗的定义:

X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}

,具有和电阻一样的单位欧姆,则电压有效值

U=I\frac{1}{\omega C}=IX_C

注:电容C具有隔直流通交流的作用。

第四节 电阻、电感与电容元件串联的交流电路

视在功率S:电路中总电压与总电流有效值的乘积

S=\sqrt{P^2+Q^2}

(V·A)。

注:S_N=U_NI_n称为发电机、变压器等供电设备的容量,即额定视在功率,可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

第五节 阻抗的串联与并联

第六节 电路中的谐振

第七节 功率因数的提高

交流电路的平均功率(有功功率):P=UIcos\varphi,则cos\varphi称为功率因数,意为对电源利用程度的衡量。

提供功率因数的实际意义:减少电源与负载之间能量的互换,而又使电感性负载能取得所需的无功功率。

按照供电规则:高压供电用户cos\varphi \ge 0.95,其他用户cos\varphi \ge 0.9

提高功率因数的原则:必须保证原负载的工作状态不变。即加至原负载上的电压和负载的有功功率不变。

提高功率因数的措施:在感性负载两端并联电容。

第八节 三相电路

具有三个电源的正弦交流电路。

三相对称正弦交流电压:由三相发电机产生的,频率相同、幅值相等、相位互差120°的三相对称正弦电压,若以u_1为参考正弦量,则

\overset{\cdot }{U}_1=U\angle 0^\circ \\ \overset{\cdot }{U}_2=U\angle -120^\circ=U(-\frac{1}{2} -j\frac{\sqrt{3} }{2} ) \\ \overset{\cdot }{U}_3=U\angle -240^\circ=U(-\frac{1}{2} +j\frac{\sqrt{3} }{2} )

相序:$U_1\to V_1\to W_1。

相电压U_P:相线与中性线间的电压。

线电压U_L:相线与相线间的电压。

三相电源的星型联结(Y型):

\overset{\cdot }{U}_{12}=\overset{\cdot }{U}_1-\overset{\cdot }{U}_2 \\ \overset{\cdot }{U}_{23}=\overset{\cdot }{U}_2-\overset{\cdot }{U}_3 \\ \overset{\cdot }{U}_{31}=\overset{\cdot }{U}_3-\overset{\cdot }{U}_1 \\

三相电路中负载的连接方法:

负载:三相负载、单向负载。

三相负载:对称三相负载(Z_1=Z_2=Z_3)、不对三相负载。

三相负载的连接方法:三相负载也有星形和三角形两种接法,至于采用哪种方法,要根据负载的额定电压确定。

三相负载的连接原则:

1.电源提供的电压等于负载的额定电压;

2.单相负载尽量均衡地分配到三相电源上。

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