第九章 多元函数微分法及应用
第一节 多元函数的基本概念
第二节 偏导数
克莱罗定理（Clairaut theorem）：在连续的前提下，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序无关。
拉普拉斯方程（Laplace's equation）：一个多元函数对每个自变量的二阶偏导数的和为0的方程。
第三节 全微分
不理解：可微什么偏导数不一定存在。
第四节 多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
隐函数（Implicit function）存在定理：设函数F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F_y(x_0,y_0)\neq0，则方程F(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x)；设函数F(x,y,z)在点P(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0，则方程F(x,y,z)=0在点(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)。
隐函数求导公式：
F(x,y)=0\\
dF=0\\
F_xdx+F_ydy=0\\
d_y=-\frac{F_x \cdot d_x}{F_y}\\
\frac{d_y}{d_x}=-\frac{F_x}{F_y}
F(x,y,z)=0\\
dF=0\\
F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z=0\\
d_z=-\frac{F_xd_x+F_yd_y}{F_z}\\
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}
隐函数存在条件：设四元方程组
\begin{cases}
F(x,y,u,v)=0\\
G(x,y,u,v)=0
\end{cases}
在点P(x_0,y_0,u_0,v_0)的某一邻域内各个变量具有连续偏导数，且J(x_0,y_0,u_0,v_0)\neq0
J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=
\begin{vmatrix}
F_u&F_v\\
G_u&G_v
\end{vmatrix}
\neq 0
则方程组在点(x_0,y_0,u_0,v_0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数
\begin{cases}
u=u(x,y)\\
v=v(x,y)
\end{cases}
。
隐函数求导公式：
\begin{cases}
F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 \\
G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0
\end{cases}\\
dF=0 \\
F_xdx+F_ydy+F_udu+F_vdv=0 \\
\begin{cases}
F_udu+F_vdv=-F_xdx-F_ydy\\
G_udu+G_vdv=-G_xdx-G_ydy
\end{cases}\\
then \ we \ get \ du \& dv
第六节 多元函数微分学的几何应用
参数方程曲线的切线与法平面：设空间曲线参数方程
\Gamma =\begin{cases}
x=x(t) \\
y=y(t) \\
z=t(t)
\end{cases}
x(t),y(t),z(t)在t=t_0处可导,
t_0\to M_0(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=M_0(x_0,y_0,z_0)\\
t_0+\Delta t\to M(x(t_0+\Delta t),y(t_0+\Delta t),z(t_0+\Delta t))\\=M(x,y,z)
则割线M_0M的方向向量：
\overrightarrow{M_0M} =\{x-x_0,y-y_0,z-z_0\} \\
=\{\Delta x,\Delta y,\Delta z\} \\
\overrightarrow{S} =\{\frac{\Delta x}{\Delta t},\frac{\Delta y}{\Delta t},\frac{\Delta z}{\Delta t}\}
切线l的方向向量(切向量)：
\overrightarrow{T}=\{\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t},\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t},\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}\}\\=\{x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\}
即可确定切线与切平面。
两曲面的交线的切线与法平面：设两曲面方程组
\begin{cases}
F(x,y,z)=0 \\
G(x,y,z)=0
\end{cases}
则存在与之等价的隐函数方程组
\begin{cases}
x=x \\
y=y(x) \\
z=z(x)
\end{cases}
即可视为参数方程曲线的切线与切平面。
另，两个曲面函数的梯度的叉积就是交线的切向量，这是求交线切向量最便捷的方法。
向量函数及其导数：对位置向量（位矢）
\overrightarrow{r(t)}=\{x(t),y(t),z(t)\} \\
\lim_{t \to t_0} \overrightarrow{r}(t)=\{\lim_{t \to t_0} x(t),\lim_{t \to t_0} y(t),\lim_{t \to t_0} z(t)\} \\
\Delta \overrightarrow{r} =\overrightarrow{r}(t+ \Delta t)-\overrightarrow{r}(t) \\
\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}= \overrightarrow{r}'(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t} \\
\overrightarrow{r}'(t)=\{x'(t),y'(t),z'(t)\}
直接求导即可得到导数矢量。
注：单位切向量有两个，一个正向一个反向。
第七节 方向导数与梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
先求驻点再讨论是不是极值点。
求最值的方法：
1.求出定义域内部可能的极值点（包括驻点和不可导点）。
2.求出定义域的边界上可能的最值点。
3.比较上述各点处函数值的大小，得到最大值和最小值。
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