随机变量及其分布

第一节 随机变量

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化，当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。

设E是随机试验，它的样本空间是S=\{e\}。如果对于每一个e\in S，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X(e)，称X(e)为随机变量。

注：

• 随机变量是一个函数，但它与普通的函数有着本质的差别，普通函数是定义在实数轴上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数）；
• 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值，由于试验的各个结果的出现具有一定的概率，因此随机变量的取值也有一定的概率规律；
• 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内，或者说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是从动态的观点来研究随机变量。

随机变量的分类：

1. 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量;
2. 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。

第二节 离散型随机变量及其分布律

设离散型随机变量X所有可能取的值为x_k(k=1,2,\dots)，X取各个可能值的概率，即事件\{X=x_k\}的概率，为

称此为离散型随机变量X的分布律。

注：

1. p_k\ge 0,k=1,2,\dots；
2. \sum_{k=1}^{\infty}p_k=1。

离散型随机变量的分布律也可以表示为：

。

将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n个试验是相互独立的，或称为n次重复独立试验。

若试验E只有两个可能结果，则称E为伯努利试验，将E的n次重复独立试验记为n重伯努利试验。

n重伯努利试验的分布律称为二项分布，记为X\sim b(n,p)。

在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P_n，若当n\rightarrow \infty时，np\rightarrow \lambda(\lambda>0)，则有

此称为泊松定理。

设随机变量所有可能取的值为 0,1,2,\dots，则取各个值的概率为

其中\lambda >0是常数，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X\sim \pi(\lambda)。

注：

实际计算中，当n\ge 100,np\le10时，n重伯努利试验近似为泊松分布效果很好。

第三节 随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

称为X的分布函数。

第四节 连续型随机变量及其概率密度

第五节 随机变量的函数的分布