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随机变量及其分布

1/20/2023, 4:20:21 PM
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第一节 随机变量

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用数学分析的方法来研究,因此为了便于数学上的推导和计算,就需将任意的随机事件数量化,当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,就建立起了随机变量的概念。

E是随机试验,它的样本空间是S=\{e\}。如果对于每一个e\in S,有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X(e),称X(e)为随机变量。

注:

  • 随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数);
  • 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律;
  • 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内,或者说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机变量。

随机变量的分类:

  1. 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量;
  2. 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量

第二节 离散型随机变量及其分布律

设离散型随机变量X所有可能取的值为x_k(k=1,2,\dots)X取各个可能值的概率,即事件\{X=x_k\}的概率,为

P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\dots

称此为离散型随机变量X分布律

注:

  1. p_k\ge 0,k=1,2,\dots
  2. \sum_{k=1}^{\infty}p_k=1

离散型随机变量的分布律也可以表示为:

x x_1 x_2 \dots x_n \dots
p_k p_1 p_2 \dots p_n \dots

将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n个试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验。

若试验E只有两个可能结果,则称E为伯努利试验,将En次重复独立试验记为n重伯努利试验。

n重伯努利试验的分布律称为二项分布,记为X\sim b(n,p)

n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为P_n,若当n\rightarrow \infty时,np\rightarrow \lambda(\lambda>0),则有

\lim_{n \to \infty} b(k;n,p)=\lim_{n \to \infty } C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\k=0,1,2,\dots

此称为泊松定理。

设随机变量所有可能取的值为 0,1,2,\dots,则取各个值的概率为

P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\dots

其中\lambda >0是常数,则称X服从参数为\lambda的泊松分布,记为X\sim \pi(\lambda)

注:

实际计算中,当n\ge 100,np\le10时,n重伯努利试验近似为泊松分布效果很好。

第三节 随机变量的分布函数

X是一个随机变量,x是任意实数,函数

F(x)=P\{X\le x\}

称为X的分布函数。

第四节 连续型随机变量及其概率密度

第五节 随机变量的函数的分布

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