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概率论的基本概念

1/18/2023, 4:22:05 PM
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第一节 随机试验

随机试验具有以下特点

  1. 同条件下可重复;
  2. 所有可能发生的结果已知;
  3. 具体结果未知。

第二节 样本空间、随机事件

随机试验E(experiment)的所有可能结果组成的集合称为E样本空间,记为S(space)。样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点

第三节 频率与概率

在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数n_A称为事件A发生的频数,比值\frac{n_A}{n}称为事件A发生的频率,并记成f_n(A)

A是随机试验E的任一事件,则

  1. 0 \le f_n(A) \le 1;
  2. f(S)=1f(\phi)=0
  3. A_1,A_2,\dots,A_k是两两互不相容的事件,则f(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k )=f_n(A_1)+f_n(A_2)+ \dots +f_n(A_k)

频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小,它就是事件的概率

S是随机试验E的样本空间。对E的每一个事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。

对于任意两事件AB

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A \cup B=A+(B-AB)

第四节 等可能模型(古典概型)

  1. 试验的样本空间只包含有限个元素;
  2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同。

具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型。

第五节 条件概率

AB是两个事件,且P(A)>0,称

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

S为试验E的样本空间,B_1,B_2,\dots,B_nE的一组事件,若

  1. B_iB_j=\phi,i\ne j,i,j=1,2,\dots ,n
  2. B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = S

则称B_1,B_2,\dots,B_n为为样本空间S的一个划分。

设试验E的样本空间为SAE的事件,B_1,B_2,\dots,B_nS的一个划分,且 P(B_i)>0(i=1,2,\dots ,n),则

P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\dots +P(A|B_n)P(B_n)

。上式称为全概率公式

第六节 独立性

AB为随机事件,若

P(AB)=P(A)P(B)

则称AB相互独立

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