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相似矩阵及其二次型

10/28/2022, 2:53:47 PM
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第一节 向量的内积、长度及夹角

内积是数量积的推广。

两个向量正交(orthogonal)的充分必要条件是他们的内积等于零。

n维向量e_1,e_2,\dots ,e_r是向量空间VV包含于R^n)的一个基,如果e_1,e_2,\dots ,e_r是两两正交的单位向量,则称e_1,e_2,\dots ,e_rV的一个规范正交基(orthonormal basis)。

施密特正交化过程:

b_1=a_1\\ b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\ b_3=a_3-\frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}b_2\\ b_i=a_i-\frac{[b_1,a_i]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_i]}{[b_2,b_2]}b_2-\dots -\frac{[b_{i-1},a_{i}]}{[b_{i-1},b_{i-1}]}b_{i-1}

第二节 方阵的特征值与特征向量

An阶矩阵,如果数\lambdan维非零向量x满足

Ax=\lambda x

则称\lambda是矩阵A特征值(eigenvalue),非零向量x称为矩阵A的对应于(或属于)特征值\lambda特征向量(eigenvector)。

Ax=\lambda x\\Ax-\lambda x=0\\(A-\lambda E)x=0\space\space\space\space(2)

如果\lambda是矩阵A的特征值,则矩阵A的对应于(或属于)特征值\lambda的特征向量x是齐次线性方程组(2)的非零解,

方程组(2)有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A-\lambda E|=0

方程组(2)的解空间称为矩阵A对应于特征值\lambda特征空间(eigenspace)。

A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix}

|A-\lambda E|=0

等价于

\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}-\lambda &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn}-\lambda \end{vmatrix}=0

这是\lambdan次方程,这个\lambdan次方程称为矩阵A的特征方程(characteristic equation),特征方程的跟就是A的特征值(特征根),在复数范围内,该方程有n个根(重根按重数计算),因此n阶矩阵有n个特征值(特征根)。

根据以上定义和讨论,在复数范围内我们有以下等价命题:

  • \lambda是矩阵A的特征值。
  • 存在非零向量x,使得Ax=\lambda x
  • 齐次线性方程组(A-\lambda E)x=0有非零解。
  • 行列式|A-\lambda E|=0

注:特征向量的非零倍数也是特征向量。

求矩阵A的特征值与特征向量的步骤:

  • (1)解特征方程|A-\lambda E|=0,得n个特征值\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n
  • (2)对每个特征值\lambda_i,解齐次线性方程组(A-\lambda_i E)x=0,设\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_l是此方程组的基础解系,则A的属于特征值\lambda_i的全部特征向量为p=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_l\xi_l(其中k_1,k_2,\dots,k_l不全为零)。

特征方程的一个s重根最多能确定s个线性无关的特征向量,即一个特征值的特征空间的维数(几何维数)不会大于该特征值的代数维数s

矩阵As重特征根能否确定s个线性无关的特征向量,直接影响到矩阵A能否对角化,一个n阶矩阵A能对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量,因此,只有A的每一个s重特征根根都能确定s个线性无关的特征向量(几何重数=代数重数),矩阵A才能对角化。

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