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太阳当空照，花儿对我笑

相似矩阵及其二次型

10/28/2022, 2:53:47 PM
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第一节 向量的内积、长度及夹角

内积是数量积的推广。

两个向量正交（orthogonal）的充分必要条件是他们的内积等于零。

设n维向量e_1,e_2,\dots ,e_r是向量空间V（V包含于R^n）的一个基，如果e_1,e_2,\dots ,e_r是两两正交的单位向量，则称e_1,e_2,\dots ,e_r是V的一个规范正交基（orthonormal basis）。

施密特正交化过程：

b_1=a_1\\ b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\ b_3=a_3-\frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}b_2\\ b_i=a_i-\frac{[b_1,a_i]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_i]}{[b_2,b_2]}b_2-\dots -\frac{[b_{i-1},a_{i}]}{[b_{i-1},b_{i-1}]}b_{i-1}

。

第二节 方阵的特征值与特征向量

设A是n阶矩阵，如果数\lambda和n维非零向量x满足

Ax=\lambda x

则称\lambda是矩阵A的特征值（eigenvalue），非零向量x称为矩阵A的对应于（或属于）特征值\lambda的特征向量（eigenvector）。

Ax=\lambda x\\Ax-\lambda x=0\\(A-\lambda E)x=0\space\space\space\space(2)

如果\lambda是矩阵A的特征值，则矩阵A的对应于（或属于）特征值\lambda的特征向量x是齐次线性方程组(2)的非零解，

方程组(2)有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A-\lambda E|=0，

方程组(2)的解空间称为矩阵A对应于特征值\lambda的特征空间（eigenspace）。

设

A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix}

则

|A-\lambda E|=0

等价于

\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}-\lambda &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn}-\lambda \end{vmatrix}=0

这是\lambda的n次方程，这个\lambda的n次方程称为矩阵A的特征方程（characteristic equation），特征方程的跟就是A的特征值（特征根），在复数范围内，该方程有n个根（重根按重数计算），因此n阶矩阵有n个特征值（特征根）。

根据以上定义和讨论，在复数范围内我们有以下等价命题：

  • \lambda是矩阵A的特征值。
  • 存在非零向量x，使得Ax=\lambda x。
  • 齐次线性方程组(A-\lambda E)x=0有非零解。
  • 行列式|A-\lambda E|=0。

注：特征向量的非零倍数也是特征向量。

求矩阵A的特征值与特征向量的步骤：

  • (1)解特征方程|A-\lambda E|=0，得n个特征值\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n。
  • (2)对每个特征值\lambda_i，解齐次线性方程组(A-\lambda_i E)x=0，设\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_l是此方程组的基础解系，则A的属于特征值\lambda_i的全部特征向量为p=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_l\xi_l（其中k_1,k_2,\dots,k_l不全为零）。

特征方程的一个s重根最多能确定s个线性无关的特征向量，即一个特征值的特征空间的维数（几何维数）不会大于该特征值的代数维数s。

矩阵A的s重特征根能否确定s个线性无关的特征向量，直接影响到矩阵A能否对角化，一个n阶矩阵A能对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，因此，只有A的每一个s重特征根根都能确定s个线性无关的特征向量（几何重数=代数重数），矩阵A才能对角化。

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