向量的线性组合：设A=\{\alpha _1,\alpha _2,\dots,\alpha _n\}是一个向量组，k_1,k_2,\dots ,k_m是一组数，则称

k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\dots +k_n\alpha _n

向量的线性表示：向量\beta能由向量组A=\{\alpha _1,\alpha _2,\dots,\alpha _n\}线性表示是指存在一组数k_1,k_2,\dots ,k_n，使得

\beta=k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\dots +k_n\alpha _n

b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \\ \end{pmatrix}

的列向量组线性表示的充分必要条件是下列线性方程组有解：

x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}+ x_1\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}+ \dots+x_1\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

或者向量b能有矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是下列线性方程组有解：

\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\\ or\\ Ax=b

而线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即R(A)=R(A,b)。

第二节向量组的线性相关性

向量组的线性相关与线性无关：设有向量组A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}。如果存在不全为零的数k_1,k_2,\dots ,k_n，使得

k_1a_1+k_2a_2+\dots +k_na_n=0

则称向量组A是线性相关（linear dependent）的，否则称该向量组线性无关（linear independent）。

注意：只有一个向量a的向量组\{a\}线性相关的充分必要条件是a是零向量。

向量组的秩：向量组A的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩（Rank），记作R_A。

注意：只有零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0。

求向量组的秩与极大无关组的方法：将向量组A=\{a_1,a_2,\dots ,a_m\}的向量作为列构成矩阵A，用初等行变换将A化成行阶梯形B，则B的不为零的行的行数即为向量组的秩；B的各行非零首元所在的列构成B的列向量组的极大无关组，A的对应列便是向量组A的极大无关组；将B进一步化为行最简形C，则由C的列向量之间的线性关系，由此得到向量用极大无关组线性表示的表达式。

max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)

第五节向量空间

我们曾经把一切n维向量(x_1,\dots,x_n)的集合称为n维向量空间，记作

R^n=\{(x_1,\dots,x_n)|x_1,\dots,x_n\in R\}

设\oslash \ne V\subseteq R^n，若集合V对于向量的线性运算封闭，则称V是一个向量空间（vector space）。

注意：任何向量空间必须含有零向量，从而不含零向量的空间一定不是向量空间。

向量组的线性相关性

第一节 向量组及其线性组合

第二节 向量组的线性相关性

第五节 向量空间

第一节向量组及其线性组合

第二节向量组的线性相关性

第五节向量空间