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向量组的线性相关性

10/1/2022, 9:47:29 AM
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第一节 向量组及其线性组合

向量组:若干个维数相同的向量构成一个向量组。

向量的线性组合:设A=\{\alpha _1,\alpha _2,\dots,\alpha _n\}是一个向量组,k_1,k_2,\dots ,k_m是一组数,则称

k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\dots +k_n\alpha _n

是向量组A的一个线性组合(linear combination)。

k_1,k_2,\dots ,k_m称为组合系数。

向量的线性表示:向量\beta能由向量组A=\{\alpha _1,\alpha _2,\dots,\alpha _n\}线性表示是指存在一组数k_1,k_2,\dots ,k_n,使得

\beta=k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\dots +k_n\alpha _n

\beta是向量组A的一个线性组合。

命题1:向量

b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

能由矩阵

A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \\ \end{pmatrix}

的列向量组线性表示的充分必要条件是下列线性方程组有解:

x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}+ x_1\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}+ \dots+x_1\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

或者向量b能有矩阵A的列向量组线性表示的充分必要条件是下列线性方程组有解:

\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\\ or\\ Ax=b

而线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A)=R(A,b)

第二节 向量组的线性相关性

向量组的线性相关与线性无关:设有向量组A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}。如果存在不全为零的数k_1,k_2,\dots ,k_n,使得

k_1a_1+k_2a_2+\dots +k_na_n=0

则称向量组A是线性相关(linear dependent)的,否则称该向量组线性无关(linear independent)。

注意:只有一个向量a的向量组\{a\}线性相关的充分必要条件是a是零向量。

向量组的秩:向量组A的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩(Rank),记作R_A

注意:只有零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩为0。

等价向量组必等秩,等秩向量组不一定等价。

求向量组的秩与极大无关组的方法:将向量组A=\{a_1,a_2,\dots ,a_m\}的向量作为列构成矩阵A,用初等行变换将A化成行阶梯形B,则B的不为零的行的行数即为向量组的秩;B的各行非零首元所在的列构成B的列向量组的极大无关组,A的对应列便是向量组A的极大无关组;将B进一步化为行最简形C,则由C的列向量之间的线性关系,由此得到向量用极大无关组线性表示的表达式。

max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)

第五节 向量空间

我们曾经把一切n维向量(x_1,\dots,x_n)的集合称为n维向量空间,记作

R^n=\{(x_1,\dots,x_n)|x_1,\dots,x_n\in R\}

\oslash \ne V\subseteq R^n,若集合V对于向量的线性运算封闭,则称V是一个向量空间(vector space)。

注意:任何向量空间必须含有零向量,从而不含零向量的空间一定不是向量空间。

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