矩阵的初等变换
9/25/2022, 9:59:11 AM- 首页 /
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第一节 矩阵的初等变换
行阶梯形（row echelon form）：元素全为0的行在非零行下面，每一行的非零首元在上一行非零元的右面。
行最简形（reduced row echelon form）：行阶梯形的每一行的非零首元均为1，且它所在的列的其他元素全为零。
标准型：左上角是单位阵，其余元素全为零。
注：
- 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换将其化成行阶梯形，进而化成行最简形。
- 矩阵的阶梯型不是唯一的，但行最简形是唯一的。
- 行最简形又可以经过有限的初等列变换化为标准型。
第二节 初等矩阵
初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（Elementary matrix）。
初等矩阵由三种，分别对应三种初等变换：
- 交换E的第i，j两行（列），得到初等矩阵E(i,j)。
- 非零数k乘以E的第i行（列），得到初等矩阵E(i(k))。
- E的第j行的k倍加到第i行，得到初等矩阵E(i,j(k))。
用初等矩阵左乘（右乘）矩阵A，相当于对A作了一次同类型的初等行变换（初等列变换）。
矩阵A可逆的充分必要条件是A是一些初等矩阵的乘积。
第三节 等价矩阵
等价矩阵（equivalent matrices）:如果矩阵A经过有限次初等行（列）变换变成矩阵B，则称A与B行（列）等价，记作
A\overset{r||c}{\sim} B
。
求矩阵逆矩阵最快的方法：增广矩阵法
(AE)\sim (EA^{-1})\\
or\\
\begin{pmatrix}
A \\
E
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
E \\
A^{-1}
\end{pmatrix}
。
证明：
\because A可逆\\
\therefore \exists初等矩阵 P_1P_2\dots P_t\\
使得P_1P_2\dots P_tA=E\\
等号两边分别右乘A^-，得\\
P_1P_2\dots P_tE=A^-，即\space \space \space (1)\\
将E经过与将A变为E同样的初等变换可得到A的逆矩阵\\
。
类似的，解矩阵方程AX=B的方法：
(AB)\sim (E,A^{-1}B)
。
证明：
AX=B的解为\\
X=A^-B\\
将(1)式等号两边分别右乘B，得\\
P_1P_2\dots P_tB=A^-B，即\\
将B经过与将A变为E同样的初等变换可得方程的解
。
第四节 矩阵的秩
矩阵的子式：设A是m\times n阶矩阵。任取A的k行与k列（k\le m,n），则位于这些行与列交叉处的k^2个元素按原来的位置次序构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。
矩阵的秩：设矩阵A有一个r阶子式D\ne 0，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于 0，则数r称为A的秩（rank），记作R(A)。
注：
规定零矩阵的秩为 0；
由于行列式与其转置行列式相等，因此A与它的转置矩阵有同样的子式，所以
R(A^T)=R(A)
（矩阵转置，其秩不变）;
若A的秩等于它的行数（列数），则称A是行满秩（列满秩）的矩阵；
若n阶矩阵A的秩等于它的阶数n，则A的行列式不等于零，A是可逆矩阵。此时称A是满秩矩阵；
若A不可逆，则A的行列式等于零，A的秩小于n，此时称A是降秩矩阵
。
两个等价矩阵的秩一定相等。
第五节 线性方程组的解
n元线性方程组Ax=b，
- 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；
- 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；
- 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n。
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