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矩阵的初等变换

9/25/2022, 9:59:11 AM
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第一节 矩阵的初等变换

行阶梯形(row echelon form):元素全为0的行在非零行下面,每一行的非零首元在上一行非零元的右面。

行最简形(reduced row echelon form):行阶梯形的每一行的非零首元均为1,且它所在的列的其他元素全为零。

标准型:左上角是单位阵,其余元素全为零。

注:

  • 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换将其化成行阶梯形,进而化成行最简形。
  • 矩阵的阶梯型不是唯一的,但行最简形是唯一的。
  • 行最简形又可以经过有限的初等列变换化为标准型。

第二节 初等矩阵

初等矩阵:由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵(Elementary matrix)。

初等矩阵由三种,分别对应三种初等变换:

  • 交换E的第ij两行(列),得到初等矩阵E(i,j)
  • 非零数k乘以E的第i行(列),得到初等矩阵E(i(k))
  • E的第j行的k倍加到第i行,得到初等矩阵E(i,j(k))

用初等矩阵左乘(右乘)矩阵A,相当于对A作了一次同类型的初等行变换(初等列变换)。

矩阵A可逆的充分必要条件是A是一些初等矩阵的乘积。

第三节 等价矩阵

等价矩阵(equivalent matrices):如果矩阵A经过有限次初等行(列)变换变成矩阵B,则称AB行(列)等价,记作

A\overset{r||c}{\sim} B

求矩阵逆矩阵最快的方法:增广矩阵法

(AE)\sim (EA^{-1})\\ or\\ \begin{pmatrix} A \\ E \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} E \\ A^{-1} \end{pmatrix}

证明:

\because A可逆\\ \therefore \exists初等矩阵 P_1P_2\dots P_t\\ 使得P_1P_2\dots P_tA=E\\ 等号两边分别右乘A^-,得\\ P_1P_2\dots P_tE=A^-,即\space \space \space (1)\\ 将E经过与将A变为E同样的初等变换可得到A的逆矩阵\\

类似的,解矩阵方程AX=B的方法:

(AB)\sim (E,A^{-1}B)

证明:

AX=B的解为\\ X=A^-B\\ 将(1)式等号两边分别右乘B,得\\ P_1P_2\dots P_tB=A^-B,即\\ 将B经过与将A变为E同样的初等变换可得方程的解

第四节 矩阵的秩

矩阵的子式:设Am\times n阶矩阵。任取Ak行与k列(k\le m,n),则位于这些行与列交叉处的k^2个元素按原来的位置次序构成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式。

矩阵的秩:设矩阵A有一个r阶子式D\ne 0,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于 0,则数r称为A的秩(rank),记作R(A)

注:

规定零矩阵的秩为 0

由于行列式与其转置行列式相等,因此A与它的转置矩阵有同样的子式,所以

R(A^T)=R(A)

(矩阵转置,其秩不变);

A的秩等于它的行数(列数),则称A是行满秩(列满秩)的矩阵;

n阶矩阵A的秩等于它的阶数n,则A的行列式不等于零,A是可逆矩阵。此时称A是满秩矩阵;

A不可逆,则A的行列式等于零,A的秩小于n,此时称A是降秩矩阵

两个等价矩阵的秩一定相等。

第五节 线性方程组的解

n元线性方程组Ax=b

  • 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)
  • 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n
  • 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n
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