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矩阵及其运算

9/14/2022, 9:46:09 PM
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第一节 矩阵及其线性运算

元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作O

注意:零矩阵有不同形状。不同型的零矩阵是不相等的,例如

\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}

如果一个n阶方阵的主对角线上的元素全是1,其他元素全是0,则称这个矩阵为n阶单位矩阵(单位阵),记为EI

E=\begin{pmatrix} 1 &0 &\dots &0 \\ 0 &1 &\dots &0 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 &\dots &1 \end{pmatrix}

如果一个n阶方阵的不在主对角线上的元素全为零,则称这个矩阵为对角矩阵(对角阵)(Diagonal matrix)

A=\begin{pmatrix} \lambda _1 &0 &\dots &0 \\ 0 &\lambda _2 &\dots &0 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 &\dots &\lambda _n \end{pmatrix}=diag(\lambda _1,\lambda _2,\dots,\lambda _n)

矩阵相加就是对应元素相加

A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &\dots &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &\dots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} &\dots &a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}

注意:只有同型矩阵才能相加。

矩阵相加和数乘矩阵称为矩阵的线性运算。

\lambda与单位矩阵E的乘积称为数量矩阵或纯量矩阵(纯量阵)。

第二节 矩阵的乘法

A=(a_{ij})_{m*t}B=(b_{ij})_{t*j},则AB的乘积(记作AB)为一个m*n矩阵C=(c_{ij}),其中c_{ij}A的第i行元素a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{it}分别于B的第j列的元素b_{1j},b_{2j},\dots ,b_{tj}的乘积之和,即

c_{ij}=\begin{pmatrix} a_{i1} &a_{i2} &\dots &a_{it} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{tj} \end{pmatrix}

注意:

A的列数与B的行数相等时,AB才能相乘(A可左乘B),否则不可乘;

矩阵乘积为零矩阵,未必有零因子

如果AB=BA,则称AB为可交换矩阵。

第三节 转置矩阵与对称矩阵

(AB)^T=B^TA^T

n阶矩阵A满足A^T=A,则称A为对称矩阵(对称阵)。对称阵关于主对角线对称的元素a_{ij}a_{ji}相等。

n阶矩阵A满足A^T=-A,则称A为反对称矩阵(反对称阵)。对称阵关于主对角线对称的元素a_{ij}a_{ji}相反,所以反对称阵主对角线元素全为零。

第四节 逆矩阵

A(或|A|)的各行的元素的代数余子式作为各列,得到矩阵,这个矩阵称为矩阵A的伴随矩阵(伴随阵)(adjoint of A),记作A^*

A^*=\begin{pmatrix} A_{11} &A_{11} &\dots &A_{11} \\ A_{12} &A_{11} &\dots &A_{11} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ A_{1n} &A_{11} &\dots &A_{nn} \end{pmatrix}

设方阵A的行列式|A|\ne 0​,则A可逆,且A的逆矩阵

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*

|A|=0时,A不可逆,此时称A为奇异矩阵。

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