矩阵及其运算
9/14/2022, 9:46:09 PM- 首页 /
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第一节 矩阵及其线性运算
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
注意：零矩阵有不同形状。不同型的零矩阵是不相等的，例如
\begin{pmatrix}
0 &0 &0 \\
0 &0 &0
\end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
0 &0 \\
0 &0
\end{pmatrix}
。
如果一个n阶方阵的主对角线上的元素全是1，其他元素全是0，则称这个矩阵为n阶单位矩阵（单位阵），记为E或I
E=\begin{pmatrix}
1 &0 &\dots &0 \\
0 &1 &\dots &0 \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0 &0 &\dots &1
\end{pmatrix}
。
如果一个n阶方阵的不在主对角线上的元素全为零，则称这个矩阵为对角矩阵（对角阵）(Diagonal matrix)
A=\begin{pmatrix}
\lambda _1 &0 &\dots &0 \\
0 &\lambda _2 &\dots &0 \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
0 &0 &\dots &\lambda _n
\end{pmatrix}=diag(\lambda _1,\lambda _2,\dots,\lambda _n)
。
矩阵相加就是对应元素相加
A+B=\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &\dots &a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &\dots &a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} &\dots &a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix}
。
注意：只有同型矩阵才能相加。
矩阵相加和数乘矩阵称为矩阵的线性运算。
数\lambda与单位矩阵E的乘积称为数量矩阵或纯量矩阵（纯量阵）。
第二节 矩阵的乘法
设A=(a_{ij})_{m*t}，B=(b_{ij})_{t*j}，则A与B的乘积（记作AB）为一个m*n矩阵C=(c_{ij})，其中c_{ij}是A的第i行元素a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{it}分别于B的第j列的元素b_{1j},b_{2j},\dots ,b_{tj}的乘积之和，即
c_{ij}=\begin{pmatrix}
a_{i1} &a_{i2} &\dots &a_{it}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{1j} \\
b_{2j} \\
\vdots \\
b_{tj}
\end{pmatrix}
。
注意：
当A的列数与B的行数相等时，A与B才能相乘（A可左乘B），否则不可乘；
矩阵乘积为零矩阵，未必有零因子
。
如果AB=BA，则称A和B为可交换矩阵。
第三节 转置矩阵与对称矩阵
(AB)^T=B^TA^T
设n阶矩阵A满足A^T=A，则称A为对称矩阵（对称阵）。对称阵关于主对角线对称的元素a_{ij}和a_{ji}相等。
设n阶矩阵A满足A^T=-A，则称A为反对称矩阵（反对称阵）。对称阵关于主对角线对称的元素a_{ij}和a_{ji}相反，所以反对称阵主对角线元素全为零。
第四节 逆矩阵
用A（或|A|）的各行的元素的代数余子式作为各列，得到矩阵，这个矩阵称为矩阵A的伴随矩阵（伴随阵）（adjoint of A），记作A^*
A^*=\begin{pmatrix}
A_{11} &A_{11} &\dots &A_{11} \\
A_{12} &A_{11} &\dots &A_{11} \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
A_{1n} &A_{11} &\dots &A_{nn}
\end{pmatrix}
。
设方阵A的行列式|A|\ne 0，则A可逆，且A的逆矩阵
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
。
当|A|=0时，A不可逆，此时称A为奇异矩阵。
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