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行列式

9/11/2022, 2:21:48 PM
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第五节 行列式按行(列)展开

a_{ij}的余子式:在n阶行列式中,把元素a_{ij}所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式,记作M_{ij}(minor)。

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

称为a_{ij}的代数余子式。

行列式等于它的任一行(一列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和,即

D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ (i,j=1,2,...,n)
V_n=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &\cdots &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 &\cdots &x_n \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 &\cdots &x_n^2 \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ x_1^{n-2} &x_2^{n-2} &x_3^{n-2} &\cdots &x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &x_3^{n-1} &\cdots &x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{n\ge i\ge j\ge 1}^{} (x_i-x_j)

记忆:一切右元减左元之积。

一行(一列)的元素乘以另一行(另一列)的代数余子式,加起来等于零。

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