无穷级数
6/17/2022, 9:48:09 PM- 首页 /
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第一节 常数项级数的概念和性质
调节级数发散证明：
S_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+···+\frac{1}{n}\\
>\int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx=\ln_{}{n}\\
\lim_{n \to \infty} \ln_{}{n} =\infty
第二节 常数级数的审敛法
对正项级数，其部分和S_n单调递增，若数列{S_n}有界，则其收敛。
注意：比较审敛法不能用于非正项级数。
正项级数的比值审敛法（达朗贝尔审敛法）：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n是正项级数，且
\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l
则
\begin{cases}
0\le l<1&\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 收敛
\\
1< l\le+\infty &\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 发散
\end{cases}
。
当通项中含有n次幂或者n的阶乘可以用比值审敛法。
正项级数的根值审敛法（柯西判别法）：设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n是正项级数，且
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =l
则
\begin{cases}
0\le l<1&\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 收敛
\\
1< l\le+\infty &\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 发散
\end{cases}
。
当通项中含有n次幂时可以用根值审敛法。
正项级数的积分审敛法：设函数f(x)在区间\left [ 1,+\infty\right ]上连续，非负，单减，则级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n与广义积分
\int_{1}^{+\infty } f(x)dx
具有相同的敛散性。
注意：可以证明
\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =l
。
\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a}=\lim_{n \to \infty }a^\frac{1}{n}=a^0=1\\
\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=\lim_{x \to +\infty }\sqrt[x]{x}=\lim_{x \to +\infty }x^\frac{1}{x}=e^{\lim\limits_{n \to \infty } \frac{\ln x}{x} }=e^0=1
级数绝对收敛的充分必要条件是级数的正部和负部都收敛。
级数条件收敛的充分必要条件是级数的正部和负部都发散。
绝对收敛级数可以任意重排，其和不变。
条件收敛级数不满足交换律。
第三节 幂级数
- 徐小湛《高等数学》第130讲 幂级数的收敛半径和收敛域-教育-高清完整正版视频在线观看-优酷 (youku.com)
- 徐小湛《高等数学》第131讲 幂级数的运算与和函数-教育-高清完整正版视频在线观看-优酷 (youku.com)
第四节 函数展开成幂级数
- 徐小湛《高等数学》第132讲 函数展开成幂级数(1)-教育-高清完整正版视频在线观看-优酷 (youku.com)
- 徐小湛《高等数学》第133讲：函数展开成幂级数(2)-教育-高清完整正版视频在线观看-优酷 (youku.com)
第五节 函数的幂级数展开式的应用
第六节傅里叶级数
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