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无穷级数

6/17/2022, 9:48:09 PM
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第一节 常数项级数的概念和性质

调节级数发散证明:

S_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+···+\frac{1}{n}\\ >\int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx=\ln_{}{n}\\ \lim_{n \to \infty} \ln_{}{n} =\infty

第二节 常数级数的审敛法

对正项级数,其部分和S_n单调递增,若数列{S_n}有界,则其收敛。

注意:比较审敛法不能用于非正项级数。

正项级数的比值审敛法(达朗贝尔审敛法):设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n是正项级数,且

\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l

\begin{cases} 0\le l<1&\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 收敛 \\ 1< l\le+\infty &\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 发散 \end{cases}

当通项中含有n次幂或者n的阶乘可以用比值审敛法。

正项级数的根值审敛法(柯西判别法):设\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n是正项级数,且

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =l

\begin{cases} 0\le l<1&\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 收敛 \\ 1< l\le+\infty &\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 发散 \end{cases}

当通项中含有n次幂时可以用根值审敛法。

正项级数的积分审敛法:设函数f(x)在区间\left [ 1,+\infty\right ]上连续,非负,单减,则级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n与广义积分

\int_{1}^{+\infty } f(x)dx

具有相同的敛散性。

注意:可以证明

\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =l

\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a}=\lim_{n \to \infty }a^\frac{1}{n}=a^0=1\\ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=\lim_{x \to +\infty }\sqrt[x]{x}=\lim_{x \to +\infty }x^\frac{1}{x}=e^{\lim\limits_{n \to \infty } \frac{\ln x}{x} }=e^0=1

级数绝对收敛的充分必要条件是级数的正部和负部都收敛。

级数条件收敛的充分必要条件是级数的正部和负部都发散。

绝对收敛级数可以任意重排,其和不变。

条件收敛级数不满足交换律。

第三节 幂级数

第四节 函数展开成幂级数

第五节 函数的幂级数展开式的应用

第六节傅里叶级数

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